Rabu, 14 Maret 2012

Aplikasi Integral Tertentu


BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG        
Telah dijelaskan bahwa dalam hitung diferensial kita mencari laju perubahan suatu fungsi, sedangkan dalam hitung integral kita mencari fungsi yang laju perubahannya diketahui. Proses seperti ini disebut integral atau antiturunan (antiderivative).
Dalam ilmu ekonomi sering dijumpai persoalan yang mencari fungsi, jika diketahui laju perubahan fungsi tersebut. Misalnya, menentukan surplus produsen dan surplus konsumen. Proses mencari surplus produsen dan surplus konsumen ini adalah mengintegralkan fungsi penerimaan dan penawaran dengan harga atau batas tertentu.

RUMUSAN MASALAH
1.      Bagaimana aplikasi integral dalam surplus konsumen dan surplus produsen?

TUJUAN PENULISAN
1.      Untuk dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam surplus konsumen dan surplus produsen.
BAB II
PEMBAHASAN
INTEGRAL TERTENTU
Kalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya = F’(x) = f (x) maka yang dimaksud dengan integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk
aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas.
Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).
Jadi, aʃb f(x)= [F(x)]ba =F(b) – F(a)
Notasi [F(x)]ba berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan F(a).
Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.
Contoh:
2ʃ4 (3x+ 4x – 2).dx = [x3 + 2x2 – 2x]42
                                 = (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)
                                 = 88 – 12 = 76
SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU
1. aʃbf(x).dx = 0
2. aʃbf(x).dx = -aʃbf(x).dx
3. aʃbf(x).dx + aʃcf(x).dx = aʃcf(x).dx
4. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx
5. aʃbk.f(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan konstan)
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU DALAM ILMU EKONOMI
Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnuya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.
Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.
Jika diketahui fungsi demand dan supply dari suatu jenis barang ialah D: p = f(x) dan S: p = g(x) dan market equilibrium terjadi pada tingkat harga P0 dan kuantitasnya X0, seperti yang tertera dalam gambar berikut:

Pada gambar tersebut B adalah titik equilibrium yakni perpotongan kurva D dan S, dimana 0A = X0 dan 0C = AB = P0.
1.      Surplus Konsumen
            Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
            Karena itu, besarnya surplus konsumen pada gambar ini, yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

            SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx – P0.X0

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2.      Surplus Produsen
            Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.
Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini.
           
            SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 - oʃxcg(x).dx

CONTOH SOAL
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
D: p = -1/2 x2 1/2 x + 33
S: p = 6 + x
Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi markwt equilibrium (ME).
Penyelesaian:
ME terjadi pada saat D = S
-1/2 x2 1/2 x + 33 = 6 + x
-1/2 x2 – 11/2 x + 27 = 0
X2 + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0
Jadi, kuantitas equilibrium xo = 6 unit price equilibrium po = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.
Karena market equilibrium terjadi pada xo = 6 dan po = 12 maka;
SK = 0ʃ6(-1/2 x2 1/2 x + 33).dx – 12.6
       = [-1/6 x3 1/4 x2 + 33x]60
         = (-1/6 63 1/4 62 + 33.6) – (0) – 12.6
       = (-36 – 9 + 198) – 72
       = 81
Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakan konsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkan contoh diatas, surplus produsen adalah
SP = 12.6 - 0ʃ6 (6 + x)dx
       = 72 – [6x + 1/2 x2]60
       = 72 – ((6.6 + 1/2 62)-0)
       = 72 – 54
       = 18
Sesuai dengan pengertian surplus, hasil hitungan SK dan SP harus selalu positif. Dari contoh diatas dapat digambarkan kurva sebagai berikut:




BAB III
KESIMPULAN
1.      Surplus Konsumen
            Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0 inilah yang disebut surplus konsumen.
SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx – P0.X0
Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.
2.      Surplus Produsen
            Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang.
                                    SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 - oʃxcg(x).dx



DAFTAR PUSTAKA
Bumolo, Husain dan Mursinto, Djoko. 2005. Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya Edisi 7. Malang: Bayumedia Publishing.
Nababan M. 1988. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Erlangga.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar